Question

下列说法中：
①若函数f（x）=ax²+（2a+b）x+2（x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）表示-2x+2与-2x²+4x+2中的较小者，则函数f（x）的最大值为1；
③已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（xy）=xf（y）+yf（x），则f（x）是奇函数；
④设lg2=a，lg3=b那么可以得到log56=

a+b

1-a

；
⑤函数f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（0，2），其中正确说法的序号是

①③④

（注：把你认为是正确的序号都填上）．

Answer 1

分析：利用二次函数的图象与性质，可得①是真命题；利用分段函数的单调性与图象，可得②是假命题；利用赋值法，进行验证可得③是真命题；根据对数的运算法则与换底公式，可得④是真命题；利用二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调可得⑤是真命题．由此得到正确答案．

解答：解：对于①，∵f（x）=ax²+（2a+b）x+2是二次函数，且图象关于直线x=-

2a+b

2a

对称，
∴2a-1+a+4=0且-

2a+b

2a

=0，解之得a=-1，b=2，故①正确；
对于②，f（x）=

-2x+2   0≤x≤3 -2x2+4x+2   x＜0或x＞3

，
可得当x∈（∞，0）时，函数f（x）为增函数；当x∈（0，3）时，函数f（x）为减函数；
当x∈（3，+∞）时，函数f（x）为减函数
∴当x=0时，函数f（x）的最大值为f（0）=2，故②不正确；
对于③，对任意的x，y∈R都满足f（xy）=xf（y）+yf（x），取x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0
再取x=y=-1，得f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，所以f（-1）=0，
最后取y=-1，得f（-x）=xf（-1）-f（x），所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．故③正确；
对于④，lg2=a，lg3=b，则log₅6=

lg6

lg5

=

lg2+lg3

1-lg2

=

a+b

1-a

，故④正确；
对于⑤，因为0＜3+2x-x²=-（x-1）²+4≤4，
所以f(x)=log2(3+2x-x2)≤log₂4=2，故函数函数f(x)=log2(3+2x-x2)的值域是（-∞，2），故⑤不正确．
故答案为：①③④

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的单调性与奇偶性、对数的运算法则、复合函数的值域和抽象函数等知识点，属于基础題．