Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-tx²+（2t²-1）x+1，g（x）=e^2x-2te^x+2．
（1）若f（x）存在单调递减区间，求实数t的取值范围；
（2）设函数F（x）=g（x）+f′（x），若对于任意的实数x和t都有F（x）≥m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，由题意得判别式大于0，解出关于t的不等式即可；
（2）对于任意的实数x和t都有F（x）≥m恒成立，问题转化为m≤（e^x-t）²+（x-t）²+1恒成立即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²-2tx+（2t²-1），
若f（x）存在单调递减区间，
则△=4t²-4（2t²-1）＞0，
解得：-1＜t＜1；
（2）F（x）=g（x）+f′（x）
=e^2x-2te^x+2+x²-2tx+（2t²-1）
=（e^x-t）²+（x-t）²+1≥m，
若对于任意的实数x和t都有F（x）≥m恒成立，
则m≤（e^x-t）²+（x-t）²+1≤1．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用，二次函数的性质，是一道中档题．