Question

已知数列{a_n}满足∵(

9

10

)a1+(

9

10

)2a2+…+(

9

10

)nan=

9

10

（n²+3n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）分析数列{a_n}有没有最大项，若有，求出这个最大项；若没有，说明理由．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{a_n}为递增数列，即可得到数列没有最大项．

解答：解：（1）∵(

9

10

)a1+(

9

10

)2a2+…+(

9

10

)nan=

9

10

（n²+3n）①
∴n≥2时，(

9

10

)a1+(

9

10

)2a2+…+(

9

10

)n-1an-1=

9

10

[（n-1）²+3（n-1）]②
①-②可得(

9

10

)nan=

9

10

（2n+2）
∴n≥2时，an=2(n+1)•(

9

10

)1-n
∵n=1时，(

9

10

)a1=

9

10

×4，∴a₁=4，满足上式
∴an=2(n+1)•(

9

10

)1-n；
（2）∵

an+1

an

=

2(n+2)•( 9 10 )-n

2(n+1)•( 9 10 )1-n

=

10

9

×(1+

1

n+1

)＞1，a_n＞0
∴a_n+1＞a_n
∴数列{a_n}为递增数列，因此数列没有最大项．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．