Question

【题目】已知函数

（1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

（2）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）函数f（x）在区间[2，4]上单调递减等价于其导数在区间[2，4]上恒成立，只需求在[2，4]上的最小值即可；

（2）题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x﹣1）2+lnx﹣x+1≤0恒成立，设g（x）＝a（x﹣1）2+lnx﹣x+1（x≥1），只需g（x）max≤0即可，下面用导数求解g（x）的最大值．

解：（1）

因为函数在区间上单调递减

在区间上恒成立，

即在上恒成立

只需不大于在上的最小值即可

当时，

即，故实数的取值范围是

（2）因为图象上的点都在所表示的平面区域内

即当时，不等式恒成立

即恒成立

设只需

既可

由

⑴当时，，当时，

函数在上单调递减，故成立

⑵当时，由

令得

①若，即时，在区间上

在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件

②若，时

函数在上单调递减，在区间上单调递增，

同样在上无最大值，不满足条件

⑶当时，

因为，故则函数在上单调递减，

故成立

综上所述，实数的范围是