Question

设a＞0,函数f(x)=.

（1）求证：f(x)有且只有一个极大值点与极小值点；

（2）当极大值为1，极小值为-1时，求a,b的值；

（3）在（2）的条件下，写出f(x)的单调区间，画出f(x)的图象.

Answer 1

（1）证明：f′(x)==.

令f′(x)=0,即ax²+2bx-a=0.                                                   (*)

因为a＞0,所以Δ=(2b)²-4a(-a)=4(b²+a²)＞0,

所以方程(*)有两个不等实根x₁,x₂(x₁＜x₂＝.当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下：

x	(-∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f′(x)	-	0	+	0	-
F(x)	↘	极小值	↗	极大值	↙

由上表可知，f(x)只有一个极小值f(x₁),只有一个极大值f（x₂).

（2）解：由（1）知

即

两式相加，得a(x₁+x₂)+2b=(x₂-x₁)(x₂+x₁).

由方程(*)知.x₁+x₂=-,代入上式，得(x₂-x₁)(-)=0.

因为x₂-x₁≠0,所以b=0,

将b=0,代入方程（*）,得a(x²-1)=0,

因为a＞0,所以x₁=-1,x₂=1,

代入上面的方程ax₁+b=-1-x₁²,得a=2,所以a=2,b=0.

（3）解：由（2）知f(x)=.

由（1）中的表可知，f(x)在（-∞,-1)与（1,+∞)上是减函数，在（-1，1）上是增函数，又f(x)=0,于是f(x)的图象如上图.