Question

已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）当|PQ|=2

3

时，求直线l的方程；
（Ⅱ）探索

AM

•

AN

是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意．…（2分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0．
因为PQ=2

3

，所以CM=

4-3

=1．则由CM=

|-k+3|

k2+1

=1，得k=

4

3

．∴直线l：4x-3y+4=0．
从而所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0．…（6分）
（Ⅱ）因为CM⊥MN，∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

+

CM

•

AN

=

AC

•

AN

．
①当l与x轴垂直时，易得N(-1， -

5

3

)，则

AN

=(0，-

5

3

)．
又

AC

=(1，3)，∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5…（8分）
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由

y=k(x+1) x+3y+6=0

，得N（

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

）．
则

AN

=(

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

)．∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5．
综上，

AM

•

AN

与直线l的斜率无关，且

AM

•

AN

=-5．…（13分）