Question

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、

a

b

∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是

 

．（把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

分析：本题考查的主要知识点是新定义概念的理解能力．我们可根据已知中对数域的定义：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、

a

b

∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，对四个命题逐一进行判断即可等到正确的结果．

解答：解：当a=b时，a-b=0、

a

b

=1∈P，故可知①正确．
当a=1，b=2，

1

2

∉Z不满足条件，故可知②不正确．
对③当M中多一个元素i则会出现1+i∉M所以它也不是一个数域；故可知③不正确．
根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．
故答案为：①④．

点评：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的四个命题代入进行检验，要满足对四种运算的封闭，只有一个个来检验，如②对除法如

1

2

∉Z不满足，所以排除；对③当M中多一个元素i则会出现1+i∉M所以它也不是一个数域；①④成立．