练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994}，P中任三点均不共线，将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m（G）．
    （1）求m（G）的最小值m．
    （2）设G*是使m（G*）=m的一个图案，若G*中的线段（指以P的点为端点的线段）用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案，使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．
    【答案】分析：（1）设G中分成的83个子集的元素个数分别为ni（1≤i≤83），1=1994，则m（G）=．可证只有当各ni的值相差不超过1时，m（G）才能取得最小值，从而可得当81组中有24个点，2组中有25个点时，m（G）达到最小值；
    （2）取5个点为一小组，按图1染成a、b二色；如图2，每个小圆表示一个五点小组．同组间染色如图1，不同组的点间的连线按图2染成c、d两色，由此可得结论．
    解答：解：（1）设G中分成的83个子集的元素个数分别为ni（1≤i≤83），1=1994．且3≤n1≤n2≤…≤n83．
    则m（G）=．即求此式的最小值．
    设nk+1＞nk+1，即nk+1-1≥nk+1，则+-（+）=-＜0．
    这就是说，当nk+1与nk的差大于1时，
    可用nk+1-1及nk+1代替nk+1及nk，而其余的数不变．此时，m（G）的值变小．
    于是可知，只有当各ni的值相差不超过1时，m（G）才能取得最小值．
    ∵1994=83×24+2，∴当81组中有24个点，2组中有25个点时，m（G）达到最小值．
    ∴m=81+2=81×2024+2×2300=168544．
    （2）取5个点为一小组，按图1染成a、b二色，共五个小组；如图2，每个小圆表示一个五点小组．
    同组间染色如图1，不同组的点间的连线按图2染成c、d两色．
    这25个点为一组，共得83组，染色法相同．
    其中81组去掉1个点及与此点相连的所有线，即得一种满足要求的染色
    即存在一个染色方案，使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．
    点评：本题考查组合知识，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=
    1
    4
    x2．实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．
    （1）过点，A（p0，
    1
    4
    p02）（p0≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=
    |p0|
    2
    ；
    （2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，
    1
    4
    p
    2
    1
    ），E′（p2，
    1
    4
    p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|?φ（a，b）=
    |p1|
    2
    ．
    （3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥
    1
    4
    （x+1）2-
    5
    4
    }．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φmin）和最大值（记为φmax）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994}，P中任三点均不共线，将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连，不在同一组的两点不连线段，这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m（G）．
    （1）求m（G）的最小值m0．
    （2）设G*是使m（G*）=m0的一个图案，若G*中的线段（指以P的点为端点的线段）用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案，使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：广东省高考真题 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y=x2，实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}.
    （1）过点A（p0，p0）（p0≠0）作L的切线教y轴于点B。证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有φ（p，q）=；
    （2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0，a≠0。过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，p12），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交与F，F'。线段EF上异于两端点的点集记为X。证明：M（a，b）∈X|P1|＞|P2|φ（a，b）=；
    （3）设D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）2-}，当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φmin）和最大值（记为φmax）。

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本小题满分14分）

           在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:．实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。

    （1）过点作L的切线教y轴于点       B．证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有

    （2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b） X;

    （3）设D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案