Question

某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=

- 1 8 t3- 3 4 t2+36t- 629 4 ，(6≤t＜9) t 8 + 55 4 ，(9≤t≤10) -3t2+66t-345，(10＜t≤12)

．求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．

Answer 1

分析：根据所给的分段函数，要求函数的最大值，需要求出每一段上的最大值再进行比较，在函数的第一段，所给的是一个三次函数式，需要利用导数来求函数的最大值，第二段是一个一次函数，直接根据函数的单调性来做，第三段是一个二次函数，根据根据二次函数的性质来做，对于三段做出的函数值进行比较，得到结果．

解答：解：根据所给的分段函数，要求函数的最大值，需要求出每一段上的最大值再进行比较，
当6≤t＜9时．
y′=-

3

8

t2-

3

2

t+36，(2分)=-

3

8

(t+12)(t-8)．
令y'=0，得t=-12或t=8．，（3分）
当6≤t＜8时，y'＞0，当8＜t＜9时，y'＜0，
所以当t=8时，y有最大值，（5分）
y_max=18.75（分钟），（6分）
当9≤t≤10时，y=

1

8

t+

55

4

是增函数，
∴当t=10时，y_max=15（分钟）．，（8分）
当10＜t≤12时，
y=-3（t-11）²+18，
∴当t=11时，y_max=18（分钟）．，（11分）
综上所述上午8时该路段所用的最多．

点评：本题考查利用导数求函数的最值和分段函数的最值的求法，本题解题的关键是首先对于所给的三段上的函数求出最值，再比较三个最值的大小，三个最值种最大的结果即为所求．