Question

已知f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立，且f（

π

2

）＞0，则f（x）的单调递增区间是（　　）

• A、[kπ-

  π

  3

  ，kπ+

  π

  6

  ]（k∈Z）
• B、[kπ+

  π

  6

  ，kπ+

  2π

  3

  ]（k∈Z）
• C、[kπ，kπ+

  π

  2

  ]（k∈Z）
• D、[kπ-

  π

  2

  ，kπ]（k∈Z）

Answer 1

分析：利用辅助角公式，化简得f（x）=

a2+b2

sin（2x+θ）．根据f（x）≤|f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立，可得当 x=

π

6

时函数有最大值或最小值，从而得出θ=

π

6

+kπ（k∈Z）．再由f（

π

2

）＞0，取k=-1得到θ=-

5π

6

，进而得到 f（x）=

a2+b2

sin（2x-

5π

6

），最后根据正弦函数单调区间的公式加以计算，可得f（x）的单调递增区间．

解答：解：根据题意，可得f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ），（其中tanθ=

b

a

）．
∵f（x）≤|f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立，
∴当x=

π

6

时，函数有最大值

a2+b2

或最小值-

a2+b2

．
因此，2•

π

6

+θ=

π

2

+kπ（k∈Z），解得θ=

π

6

+kπ（k∈Z），
∵f（

π

2

）=

a2+b2

sin（π+θ）=-

a2+b2

sinθ＞0，
∴sinθ＜0，从而取k=-1得到θ=

π

6

-π=-

5π

6

．
由此可得f（x）=

a2+b2

sin（2x-

5π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x-

5π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
故选：B

点评：本题给出三角函数表达式，在x=

π

6

时函数有最大值或最小值的情况下求函数的单调区间．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、三角函数的最值及其应用等知识，属于中档题．