Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈（-1，0）时，函数f（x）的解析式为

f（x）=2-x

．

Answer 1

分析：由已知中f(x-

3

2

)=f(x+

1

2

)恒成立得到函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=x，我们易得，x∈（-1，0）时时，函数f（x）的表达式．

解答：解：因为f(x-

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)=f(x+

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2

)恒成立⇒f（x）=f（x+2）⇒周期T=2．
∴x∈（-1，0）⇒-x∈（0，1）⇒-x+2∈（2，3）．
∵f（x）是定义在R上的偶函数；
且当x∈[2，3]时，f（x）=x
∴x∈（-1，0），可得f（x）=f（-x）=f（-x+2）=-x+2．
即x∈（-1，0）时，f（x）=-x+2．
故答案为：f（x）=-x+2．

点评：本题主要考察函数的周期性以及奇偶性．解决本题的关键在于根据f(x-

3

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)=f(x+

1

2

)恒成立得到函数是以2为周期的周期函数．