练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，数学公式，数学公式，M、N分别是AB、SB的中点；
    （1）证明：平面SAC⊥平面ABC；
    （2）求直线MN与平面SBC所成角的正弦值．

    （1）证明：取AC中点D，连SD，BD，
    ∵SA=SC，∴SD⊥AC
    ∵△ABC是边长为4的正三角形，，，
    ∴，
    ∴SD⊥BD
    ∵AC∩BD=D
    ∴SD⊥平面ABC
    ∵SD?平面SAC
    ∴平面SAC⊥平面ABC；..（6分）
    （2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DS为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（-2，0，0），，，，
    ∴，，
    设平面SCB的法向量为，则有，
    令x=1，得到…．…..（8分）
    设直线MN与平面SBC所成角为θ，则…..（12分）
    分析：（1）取AC中点D，连SD，BD，证明SD⊥平面ABC，利用面面垂直的判定，可得平面SAC⊥平面ABC；
    （2）建立坐标系，求出平面SCB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线MN与平面SBC所成角的正弦值．
    点评：本题以三棱锥为载体，考查线面垂直，面面垂直，考查线面角，考查向量知识的运用，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为1的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
    （Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
    （Ⅱ）证明：SA⊥BC；
    （Ⅲ）求三棱锥S-ABC的体积．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
    （Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
    （Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
    		3
    ．

    （Ⅰ）求证SA⊥SC；
    （Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式r=
    2S
    l
    （其中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如右图）：
    ①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三个小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教网C．
    ②设△ABC三边长分别为a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
    得S=
    1
    2
    ar+
    1
    2
    br+
    1
    2
    cr    =
    1
    2
    lr    ，则r=
    2S
    l
    ．
    类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥S-ABC内切球的半径．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=BC=AC=
    		2
    SB=
    		2
    SC    ，O为BC中点．
    （1）求证：SO⊥平面ABC
    （2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值为
    		15
    5
    ？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在三棱锥S-ABC中，侧棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，侧面△SAB，△SBC，△SAC的面积分别为1，
    3
    2
    ，3，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案