Question

圆x²+y²=8内有一点P（-1，2），AB为过点P但不与x轴垂直的弦，O为坐标原点．则的取值范围________．

Answer 1

[-8，2]
分析：设直线AB方程为y-2=k（x+1），将它与圆方程消去y得关于x的方程，由一元二次方程根与系数关系得x₁+x₂=，x₁x₂=，再结合直线方程算出y₁y₂=．由此得到=x₁x₂+y₁y₂=-6+，利用导数工具讨论关于k的函数的单调性与最值，即可得到的取值范围．
解答：设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-2=k（x+1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由消去y，
得（1+k²）x²+（2k²+4k）x+k²+4k-4=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
可得y₁y₂=[k（x₁+1）+2][k（x₂+1）+2]=k²x₁x₂+（k+2）（x₁+x₂）+（k+2）²=．
从而有=x₁x₂+y₁y₂=+=-6+
设F（k）=，则F'（k）==-
∴当k＜-2或k＞时，F'（k）＜0；当-2＜k＜时，F'（k）＞0
函数F（k）在（-∞，-2）和（，+∞）上是减函数，在（-2，）上是增函数；
由此可得F（k）的最小值为它的极小值F（-2）=-2，最大值是它的极大值F（）=8
∴=-6+的最小值为-8，最小值为2
即的取值范围为[-8，2]
故答案为：[-8，2]
点评：本题在直线与圆相交的情况下，求数量积的取值范围，着重考查了直线与圆的位置关系和向量数量积的运算等知识，属于中档题．