Question

14．在△ABC中，$\frac{sinA}{sinB}=2，BCcosB+ACcosA=1$，则有如下说法：①AB=1；②△ABC面积的最大值为$\frac{1}{3}$；③当△ABC面积取到的最大值时，$AC=\frac{2}{3}$；则上述说法正确的个数为（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 由正弦定理和余弦定理可得，a=2b，c=1．再由三角形的面积公式，化简整理，配方，运用二次函数的最值可得面积的最大值，即可判断正确个数．

解答 解：在△ABC中，$\frac{sinA}{sinB}=2，BCcosB+ACcosA=1$，
可得a=2b，b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=c=1，
即AB=1；
设b=x，则a=2x，根据面积公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=x²•sinC=x²•$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．
由余弦定理可得cosC=$\frac{5{x}^{2}-1}{4{x}^{2}}$，
∴S_△ABC=x²•$\sqrt{1-（\frac{5{x}^{2}-1}{4{x}^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-9{x}^{4}+10{x}^{2}-1}$
=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-9（{x}^{2}-\frac{5}{9}）^{2}+\frac{16}{9}}$，
由三角形三边关系有：x+2x＞1且x+1＞2x，解得$\frac{1}{3}$＜x＜1，
故当x=$\frac{\sqrt{5}}{3}$时，S_△ABC取得最大值$\frac{1}{3}$，
综上可得①②正确，③错误．
故选：C．

点评 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．