Question

实系数一元二次方程x²+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1）点（a，b）对应的区域的面积；
（2）

b-2

a-1

的取值范围；
（ 3）（a-1）²+（b-2）²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=x²+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，在aob坐标系内作出相对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，利用三角形的面积公式即可算出该区域的面积；
（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=

b-2

a-1

表示D、E连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出k=

b-2

a-1

的取值范围；
（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，由两点的距离公式可得（a-1）²+（b-2）²表示点D、E之间距离的平方，再运动点E并观察D、E的距离变化，即可算出（a-1）²+（b-2）²的取值范围．

解答：解：（1）设f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

．
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
∴S△ABC=

1

2

|BC|×yA=

1

2

×1×1=

1

2

，即为点（a，b）对应的区域的面积．

（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则k=

b-2

a-1

，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率
∵kAD=

2-1

1+3

=

1

4

，kCD=

2-0

1+1

=1，结合图形可知：kAD＜

b-2

a-1

＜kCD，
∴

b-2

a-1

的取值范围是(

1

4

，1)；
（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
可得|DE|²=（a-1）²+（b-2）²，表示区域内的点D、E之间距离的平方
运动点E，可得当E在C点时满足|DE|²=（-1-1）²+（0-2）²=8，
在当E在A点满足|DE|²=（-3-1）²+（1-2）²=17．
由此可得（a-1）²+（b-2）²取值范围为：（8，17）．

点评：本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件，求参数a、b满足的不等式组，并依此求关于a、b式子的取值范围．着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．