Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（3，-1），离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A、B是所围成的矩形在x轴上方的两个顶点．若P、Q是椭圆C上两个动点，直线0P、OQ与椭圆的另一交点分别为P₁、Q₁，且直线OP、0Q的斜率之积等于直线OA、0B的斜率之积，试问四边形PQP₁Q₁的面积是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）由题意结合隐含条件解关于a，b，c的方程组，求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通过斜率计算可得${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=12$，分x₁=x₂、x₁≠x₂两种情况讨论，利用点到直线的距离公式、三角形面积公式计算即得结论．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=12，b²=4．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）结论：四边形PQP₁Q₁的面积为定值．
理由如下：
由题意得：四条垂线的方程为：x=±2$\sqrt{3}$，y=±2，
则A（2$\sqrt{3}$，2），B（-2$\sqrt{3}$，2），
∴${k}_{OA}•{k}_{OB}=-\frac{1}{3}$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{3}$（*）
PQ=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$．
∵点P、Q在椭圆C上，∴${{y}_{1}}^{2}=4（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}），{{y}_{2}}^{2}=4（1-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}）$，
将（*）式平方得：${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}=9×16（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}）（1-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}）$，即${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=12$，
①若x₁=x₂，则P、P₁、Q、Q₁分别是直线OA、OB与椭圆的交点，
∴四个点的坐标为：（$\sqrt{6}，\sqrt{2}$），（$-\sqrt{6}，-\sqrt{2}$），（-$\sqrt{6}，\sqrt{2}$），（$\sqrt{6}，-\sqrt{2}$），
∴四边形PQP₁Q₁的面积为$8\sqrt{3}$；
②若x₁≠x₂，则直线PQ的方程可设为：$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{1}）$，
化简得：（y₂-y₁）x-（x₂-x₁）y+x₂y₁-x₁y₂=0，
∴点O到直线PQ的距离为d=$\frac{|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|}{\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}}$，
∴△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}$PQ•d=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}{y}_{1}{y}_{2}+{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）}$=$\frac{1}{2}\sqrt{4×12}=2\sqrt{3}$．
根据椭圆的对称性，故四边形PQP₁Q₁的面积为4S，即为定值$8\sqrt{3}$．
综上：四边形PQP₁Q₁的面积为定值$8\sqrt{3}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查椭圆的标准方程、点的坐标、点到直线的距离、三角形面积公式，韦达定理等基础知识，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．