Question

20．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）用单调性定义证明f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（3）已知f（x+1）+f（2x-3）＜0，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）计算f（-x）与±f（x）的关系即可判断出结论．
（2）f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$．?0＜x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$，即可判断出符号．
（3）由f（x+1）+f（2x-3）＜0，可得f（x+1）＜-f（2x-3）=f（3-2x），又奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，即可得出．

解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，（x≠0），
∴f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1+{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$．
?0＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$-$（1+\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}）$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$，
∵0＜x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{2}}$＞${2}^{{x}_{1}}$，${2}^{{x}_{1}}$＞1，${2}^{{x}_{2}}$＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（3）解：∵f（x+1）+f（2x-3）＜0，
∴f（x+1）＜-f（2x-3）=f（3-2x），
又奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴x+1＞3-2x＞0，或0＞x+1＞3-2x，
解得：x＞$\frac{3}{2}$或x∈∅．
∴实数x的取值范围是$（\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性奇偶性及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．