Question

设函数f（x）=．
（1）判断f（x）在区间（0，π）上的增减性并证明之；
（2）设0≤x≤π，且0≤a≤1，求证：（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x≥0．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=
设g（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π）．则g'（x）=-xsinx＜0
∴g（x）在（0，π）上为减函数
又∵g（0）=0，∴当x∈（0，π）时，g（x）＜0，
∴当x∈（0，π）时，f'（x）=＜0，可得f（x）在区间（0，π）上是减函数 …（5分）
（2）显然，当a=0、1时，或x=0、π时，不等式成立
当0＜a＜1且0＜x＜π时，原不等式等价于：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
下面证明一个更强的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sinx．…①
即sin（1-a）x≥（1-a）sinx．…②
亦即≥
由（1）知在（0，π）上为减函数
又∵（1-a）x≤x，∴≥，得不等式②成立，从而①成立
∵（1-2a+a²）sinx≥（1-2a）sinx．
∴（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
综上所述，得0≤x≤π，且0≤a≤1时，原不等式成立 …（12分）
分析：（1）对函数f（x）求导数，得f'（x）=，再讨论分子对应函数的单调性，得f'（x）的分子最大值小于0，从而得到f'（x）＜0在区间（0，π）上恒成立，所以f（x）是区间（0，π）上的减函数；
（2）为了证明原不等式，利用（1）中的单调性，证明出不等式（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sinx区间（0，π）上恒成立．结合（1-2a+a²）sinx≥（1-2a）sinx得（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx，移项整理即得原不等式成立．
点评：本题给出含三角函数的分式函数，求函数的单调性并证明不等式恒成立，着重考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立等知识，属于中档题．