Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足S_n=

1

2

（1-a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）=log

1

3

x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求T_n=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…

1

bn

的值．

Answer 1

分析：（1）n≥2时由a_n=s_n-s_n-1，再利用S1=a1=

1

2

(1-a1)求得a₁，分析可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由f（x）=log

1

3

x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），an=(

1

3

)n可求得b_n，再用裂项法可求T_n的值．

解答：解：（1）n≥2时，an=

1

2

(1-an) -

1

2

(1-an-1) =-

1

2

an+

1

2

an-1，
 2a_n=-a_n+a_n-1

an

an-1

=

1

3

，---------------------------------------------------------------------------（3分）
S1=a1=

1

2

(1-a1)得a1=

1

3

，
∴数a_n是以首a1=

1

3

，公比

1

3

的等比数列，
∴an=(

1

3

)n------（5分）
（2）∵f（x）=log

1

3

x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），
∴bn=log 

1

3

a1+log

1

3

a2 +…+log

1

3

an=log

1

3

(a1•a2…•an)-----------（10分）
即log

1

3

(

1

3

)1+2+…+n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

-------------------（12分）
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

 +…+

1

bn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

n+1

--------（14分）

点评：本题考查数列求和，重点考查裂项法求和，考查学生的理解与转化及运算能力，属于中档题．