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       已知函数

    （1）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；

     （2）设函数在上有且只有一个零点，求的取值范围。

    （其中为自然对数的底数）


    解：（1）设切点坐标为，则切线的斜率为

         所以切线的方程为………………2分

         又切线过点（1，0），所以有  

        即      解得

    所以直线的方程为

    （或：设，则

    单增，单减

    有唯一解，

    所以直线的方程为

    (2）因为，注意到g（1）=0

    所以，所求问题等价于函数在上没有零点.

    因为

         所以由＜0＜00＜＜＞0＞

          所以在上单调递减，在上单调递增.

         ①当即时，在上单调递增，所以>

    此时函数g（x）在上没有零点

    ②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.

    又因为g（1）=0,g(e)=e-ae+a，在上的最小值为

    所以，（i）当1＜a时，在上的最大值g(e) 0，即此时函数g（x）在上有零点。 （ii）当 ＜a＜2时， g(e) ＜0，即此时函数g（x）在上没有零点.…10分

    ③当即时，在上单调递减，所以在上满足＜此时函数g（x）在上没有零点

    综上，所求的a的取值范围是或＜a

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