Question

（1）已知a²+b²+c²=1，x²+y²+z²=9，ax+by+cz≤t，求t 的最小值．
（2）求直线

x=2+t y= 3 t

（t为参数）被双曲线x²-y²=1截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）利用题中条件构造柯西不等式（ax+by+cz）²≤（ a²+b²+c²）（ x²+y²+z²）这个条件进行计算即可．
（2）将直线的参数方程变形后代入x²-y²=1，得关于参数的一元二次方程，结合根与系数的关系及参数的几何意义即可求出被双曲线x²-y²=1截得的弦长．

解答：解：（1）柯西不等式得：u²=（ax+by+cz）²≤（ a²+b²+c²）（ x²+y²+z²）=1×9=9．u=ax+by+cz≤3，
故u=ax+by+cz的最大值为3，从而t的最小值为3  …（7分）
（2）

x=2+ 1 2 (2t)=2+ 1 2 t′ y= 3 2 (2t)= 3 2 t′

（t′=2t为参数），
代入x²-y²=1，得：(2+

1

2

t′)2-(

3

2

t′)2=1，
整理得：t'²-4t′-6=0，设其二根为 t₁'，t₂'，则 t₁'+t₂'=4，t₁'•t₂'=-6，从而弦长为
|AB|=|t₁'-t₂'|=

(t1′+t2′)2-4t1′t2′

=

42-4(-6)

=2

10

…（7分）

点评：本小题主要考查柯西不等式在函数极值中的应用、直线的参数方程、直线与圆锥曲线的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．