Question

已知向量

OA

=(2，-1)，

OB

=(3，0)，若

AC

∥

OB

，

BC

⊥

AB

（1）求

OC

的坐标；（2）用

OA

和

OB

表示向量

OC

．

Answer 1

分析：（1）

OC

=（x，y），分别求出向量

AC

，

BC

，

AB

的坐标，根据“两个向量平行，交叉相乘差为0”，“两个向量垂直，对应相乘和为0”构造方程组，进而求出

OC

的坐标；
（2）设

OC

=λ

OA

+μ

OB

，根据（1）中结论，我们可以根据两个向量相等，则坐标对应相等，构造方程组，解方程组，即可将向量

OC

用向量

OA

和

OB

表示．

解答：解：（1）设

OC

=（x，y）
则∵

OA

=(2，-1)，

OB

=(3，0)，
∴

AC

=

OC

-

OA

=（x-2，y+1），

BC

=

OC

-

OB

=（x-3，y），

AB

=

OB

-

OA

=（1，1）
又∵

AC

∥

OB

，

BC

⊥

AB

∴3（y+1）=0，且x-3+y=0
解得x=4，y=-1
∴

OC

=(4，-1)------------（3分）
（2）设

OC

=λ

OA

+μ

OB

则（4，-1）=λ（2，-1）+μ（3，0）
即2λ+3μ=4，且-λ=-1
解得λ=1，μ=

2

3

故

OC

=

OA

+

2

3

OB

------------（3分）

点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，共线（平行）向量，平面向量的坐标运算，平面向量的基本定理，其中根据已知条件构造对应的方程组，是解答本题的关键．