Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N*）。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和S_n，求使得S_n>21-2n成立的最小整数n。

Answer 1

解：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0
得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∴数列{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁=3为首项，公比为2的等比数列
∴a_n+1-a_n=3·2^n-1，
∴n≥2时，a_n-a_n-1=3·2^n-2，…，a₃-a₂=3·2，a₂-a₁=3，
累加得a_n-a₁=3·2^n-2+…+3·2+3=3（2^n-1-1），
∴a_n=3·2^n-1-2（当n=1时，也满足）。
（2）由（1）利用分组求和法得
S_n=3（2^n-1+2^n-2+…+2+1）-2n=3（2ⁿ-1）-2n，
S_n=3（2ⁿ-1）-2n>21-2n
得3·2ⁿ>24，
即2ⁿ>8=2³，
∴n>3，
∴使得S_n>21-2n成立的最小整数n=4。