Question

1．已知函数f（x）=ln（a-$\frac{1}{x}$）（a∈R）．若关于x的方程ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0的解集中恰好有一个元素，则实数a的取值范围为（1，2]∪{3，4}．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．

解答 解：由ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0，
得ln[（ 4-a）x+2a-5]=ln（a-$\frac{1}{x}$），
即a-$\frac{1}{x}$=（4-a）x+2a-5＞0，①
则（a-4）x²-（a-5）x-1=0，
即（x-1）[（a-4）x+1]=0，②，
当a=4时，方程②的解为x=1，代入①，成立；
当a=3时，方程②的解为x=1，代入①，成立；
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=1或x=-$\frac{1}{a-4}$，
若x=1是方程①的解，则a-$\frac{1}{x}$=a-1＞0，即a＞1，
若x=-$\frac{1}{a-4}$是方程①的解，则a-$\frac{1}{x}$=2a-4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．
综上，关于x的方程ln[（4-a）x+2a-5]-f（x）=0的解集中恰好有一个元素，
则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4，
故答案为：（1，2]∪{3，4}．

点评 本题考查对数的运算性质，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属中档题．