Question

已知椭圆：的左、右焦点分别为离心率，点在且椭圆E上,

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.

（Ⅲ）试用表示的面积，并求面积的最大值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）,

椭圆E的方程为                     -------------------4分

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),

代入+y²=1,整理得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0.

∵直线AB过椭圆的右焦点,

∴方程有两个不等实根.

记A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中点N(x₀,y₀),则x₁+x₁=

              ---------------6分

  AB垂直平分线NG的方程为  令y=0，得

     ----------------8分

∵               ∴的取值范围为.  -------10分

（Ⅲ）.

而，

由，

可得,,．

所以．

又，所以

（）.---12

设，则．

可知在区间单调递增，在区间单调递减．

所以，当时，有最大值．

所以，当时，△的面积有最大值．

【解析】略