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已知数列{an}中,a1=
1
2
,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,n∈N*
(1)令bn=an+1-an-1,证明:{bn}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得数列{
SnTn
n
}
为等差数列?若存在,求出λ的值,并给出证明;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据点(n,2an+1-an)在直线y=x上,可得2an+1-an=n,利用bn=an+1-an-1,即可证得{bn}为等比数列;
(2)an+1-an=1+bn=1-
3
4
×(
1
2
)
n-1
,叠加可得数列{an}的通项公式;
(3)存在λ=2,使数列{
SnTn
n
}
是等差数列.利用Sn=
n(n-3)
2
+3[1-(
1
2
)
n
],Tn=
3
2
[(
1
2
)
n
-1]
,求得前三项,即可求得结论.
解答:(1)证明:∵点(n,2an+1-an)在直线y=x上,∴2an+1-an=n
∵bn=an+1-an-1,∴2bn+1=an+1-an-1=bn
a1=
1
2
,2an+1-an=n
∴a2=
3
4

∴b1=a2-a1-1=-
3
4
≠0
∴{bn}为等比数列;
(2)解:an+1-an=1+bn=1-
3
4
×(
1
2
)
n-1

叠加可得:an=(an-an-1)+(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=n-2+3×(
1
2
)
n

(3)解:存在λ=2,使数列{
SnTn
n
}
是等差数列.
Sn=
n(n-3)
2
+3[1-(
1
2
)
n
],Tn=
3
2
[(
1
2
)
n
-1]

S1T1
1
=
1
2
-
3
4
λ
S2T2
2
=
10-9λ
16
S3T3
3
=
42-21λ
48

数列{
SnTn
n
}
是等差数列
∴2×
10-9λ
16
=
1
2
-
3
4
λ
+
42-21λ
48
,∴λ=2
当λ=2时,
SnTn
n
=
n-3
2
,数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时,数列是等差数列.
点评:本题考查数列递推式,考查等比数列的定义,考查叠加法的运用,考查是否存在性问题的探究,综合性强.
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,则
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{
2n
an
}
的前n项和Tn

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=
1
2
Sn
为数列的前n项和,且Sn
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*
),则
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,则数列{an}的通项公式为(  )
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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