Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，n∈N^*．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，证明：{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{

Sn+λTn

n

}为等差数列？若存在，求出λ的值，并给出证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，可得2a_n+1-a_n=n，利用b_n=a_n+1-a_n-1，即可证得{b_n}为等比数列；
（2）a_n+1-a_n=1+b_n=1-

3

4

×(

1

2

)n-1，叠加可得数列{a_n}的通项公式；
（3）存在λ=2，使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列．利用S_n=

n(n-3)

2

+3[1-(

1

2

)n]，T_n=

3

2

[(

1

2

)n-1]，求得前三项，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，∴2a_n+1-a_n=n
∵b_n=a_n+1-a_n-1，∴2b_n+1=a_n+1-a_n-1=b_n，
∵a1=

1

2

，2a_n+1-a_n=n
∴a₂=

3

4

，
∴b₁=a₂-a₁-1=-

3

4

≠0
∴{b_n}为等比数列；
（2）解：a_n+1-a_n=1+b_n=1-

3

4

×(

1

2

)n-1
叠加可得：a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁=n-2+3×(

1

2

)n
（3）解：存在λ=2，使数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列．
S_n=

n(n-3)

2

+3[1-(

1

2

)n]，T_n=

3

2

[(

1

2

)n-1]
∴

S1+λT1

1

=

1

2

-

3

4

λ，

S2+λT2

2

=

10-9λ

16

，

S3+λT3

3

=

42-21λ

48

数列{

Sn+λTn

n

}是等差数列
∴2×

10-9λ

16

=

1

2

-

3

4

λ+

42-21λ

48

，∴λ=2
当λ=2时，

Sn+λTn

n

=

n-3

2

，数列是等差数列
∴当且仅当λ=2时，数列是等差数列．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的定义，考查叠加法的运用，考查是否存在性问题的探究，综合性强．