Question

（2013•德州二模）若对于定义在R上的函数f（x），存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意实数x均成立，则称f（x）是阶回旋函数，则下面命题正确的是（　　）

• A．f（x）=2^x是-

  1

  2

  阶回旋函数
• B．f（x）=sin（πx）是1阶回旋函数
• C．f（x）=x²是1阶回旋函数
• D．f（x）=log_ax是0阶回旋函数

Answer 1

分析：直接利用f（x）是t阶回旋函数的定义，逐个判断即可得到结果．

解答：解：对于A，f（x）=2^x是-

1

2

阶回旋函数，则2x-

1

2

+（-

1

2

）2^x=(

2

2

-

1

2

)2x不恒为0，所以A不正确．
对于B，f（x）=sin（πx）是1阶回旋函数，故有：sinπ（x+1）+sinπx=-sinπx+sinπx=0，对任意实数x成立，所以f（x）=sin（πx）是1阶回旋函数．
对于C，f（x）=x²是1阶回旋函数，则（x+1）²+x²=0对任意实数都成立，这个方程无解故f（x）=x²不是1阶回旋函数，该函数不是回旋函数．C不正确．
对于D，f（x）=log_ax是0阶回旋函数，则log_a（x+0）+0log_ax=log_ax，不恒为0，所以D不正确．
故选B．

点评：本题是新定义题，关键是理解新定义，利用新定义时，应注意赋值法的运用．