Question

已知|

a

|=2|

b

|≠0，若关于x的函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

|

a

|x2+

a

•

b

x在R上是单调函数，则向量

a

与

b

的夹角范围为

[0，

π

3

]

．

Answer 1

分析：由题意开始：函数f′（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

的图象与x轴没有交点或者只有一个交点，可得△=

a

2-4

a

•

b

≤0，即

a

•

b

≥

1

4

•

a

2，再结合cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b|

与已知条件得cos＜

a

，

b

＞≥

1

2

，再结合余弦函数的性质得到答案．

解答：解：因为关于x的函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

|

a

|x2+

a

•

b

x在R上是单调函数，
所以函数f′（x）=x²+|

a

|x+

a

•

b

与x轴没有交点或者只有一个交点，
所以△=

a

2-4

a

•

b

≤0，即

a

•

b

≥

1

4

•

a

2，
因为cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b|

，并且|

a

|=2|

b

|≠0
所以cos＜

a

，

b

＞≥

1

2

，
所以θ∈[0，

π

3

]．
故答案为：[0，

π

3

]．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的单调性与函数导数之间的关系，以及向量的数量积运算与余弦函数的有关性质，此题综合性较强属于中档题．