Question

已知函数f(x)=px-

p

x

-lnx，g(x)=lnx-

p

x

(1+

e2-2e

p2

)，其中e=2.71828…．
（1）若f（x）在其定义域内是单调函数，求实数p的取值范围；
（2）若p∈（1，+∞），问是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立？若存在，求出符合条件的一个x₀；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立，问题等价于：找一个x₀＞0使F（x）≤0成立，故只需满足函数的最小值F（x）_min≤0即可．，再利用导数工具，求出F（x）_min，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：由f(x)=px-

p

x

-lnx，得f′(x)=p+

p

x2

-

1

x

=

(px2-x+p) x2

（1）由题意得：f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立或f'（x）≤0在（0，+∞）恒成立
若f'（x）≤0恒成立，则px²-x+p≤0恒成立∴p≤{

x

x2+1

}min
又

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

∈(0，

1

2

]∴p≤0满足题意
若f'（x）≥0恒成立，则px²-x+p≥0恒成立∴p≥{

x

x2+1

}max=

1

2

综合上述，p的取值范围是(-∞，0]∪[

1

2

，+∞)．                   …（6分）
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=px-2lnx+

e2-2e

px

．则问题等价于：找一个x₀＞0使F（x）≤0成立，故只需满足函数的最小值F（x）_min≤0即可．
因F′(x)=p-

2

x

-

e2-2e

px2

=

(px-e)(px-2+e)

px2

=

p

x2

(x-

e

p

)(x-

2-e

p

)，
而x＞0，p＞1，

e

p

＞

2

p

＞0，

2-e

p

＜0，
故当0＜x＜

e

p

时，F'（x）＜0，F（x）递减；当x＞

e

p

时，F'（x）＞0，F（x）递增．
于是，F(x)min=F(

e

p

)=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-4＞0．
与上述要求F（x）_min≤0相矛盾，故不存在符合条件的x₀．         …（12分）

点评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．