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(2012•丹东模拟)如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是弧AC的中点,BD交AC于E. 
(I)求证:CD2=DE•DB.   
(II)若CD=2
3
O到AC的距离为1,求⊙O的半径.
分析:(I)先证明△BCD∽△CED,可得
DE
CD
=
CD
DB
,从而问题得证;   
(II)OD⊥AC,设垂足为F,求出CF=
R2-1
,利用DC2=CF2+DF2,建立方程,即可求得⊙O的半径.
解答:(I)证明:连接OD,OC,由已知D是弧AC的中点,可得∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD
∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDC=∠EDC
∴△BCD∽△CED
DE
CD
=
CD
DB

∴CD2=DE•DB.   
(II)解:设⊙O的半径为R
∵D是弧AC的中点
∴OD⊥AC,设垂足为F
在直角△CFO中,OF=1,OC=R,CF=
R2-1

在直角△CFD中,DC2=CF2+DF2
(2
3
)
2
=(R2-1)+(R-1)2

∴R2-R-6=0
∴(R-3)(R+2)=0
∴R=3
点评:本题是选考题,考查几何证明选讲,考查三角形的相似与圆的性质,属于基础题.
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