Question

已知双曲线的离心率e=2，F₁、F₂为两焦点，M为双曲线上一点，若∠F₁MF₂=60°，且．求双曲线的标准方程．

Answer 1

解：如图，当焦点在x轴上时，设方程为：
∵
由∠F₁MF₂=60°
?|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cos60°
?16a²=（|MF₁|-|MF₂|）²+|MF₁|•|MF₂|
?16a²=4a²+|MF₁|•|MF₂|
?|MF₁|•|MF₂|=12a²
且，
∴|MF₁|•|MF₂|sin60°=12，
∴×12a²×=12，?a=2，
∴b=a=2．
此时双曲线方程为．
当焦点在y轴上时，方程为：．
分析：当焦点在x轴上时，设方程为：（a＞0，b＞0）根据其离心率为2，知a，b，c的关系式．再由∠F₁MF₂=60°，且△MF₁F₂的面积为12．即可求得a值．由此能导出双曲线的方程．
点评：本小题主要考查双曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．