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(2013•肇庆一模)已知函数f(x)=Asin(4x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=
π
16
时取得最大值2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的解析式;
(3)若α∈[-
π
2
,0]
f(
1
4
α+
π
16
)=
6
5
,求sin(2α-
π
4
)
的值.
分析:(1)根据函数表达得ω=4,结合三角函数的周期公式即可得出f(x)的最小正周期的值;
(2)由函数f(x)在x=
π
16
时取得最大值2,得
π
4
+φ=
π
2
+2kπ(k∈Z),结合0<φ<π取k=0得φ=
π
4
,从而得到f(x)的解析式;
(3)由(2)求出的解析式代入
1
4
α+
π
16
,结合诱导公式化简得cosα=
3
5
,由同角三角函数的关系结合α∈[-
π
2
,0]
算出sinα=-
4
5
,用二倍角的三角公式算出sin2α、cos2α之值,代入sin(2α-
π
4
)
的展开式,即可得到sin(2α-
π
4
)
的值.
解答:解:(1)∵函数表达式为:f(x)=Asin(4x+φ),
∴ω=4,可得f(x)的最小正周期为T=
ω
=
π
2
(2分)
(2)∵f(x)在x=
π
16
时取得最大值2,
∴A=2,且x=
π
16
时4x+φ=
π
2
+2kπ(k∈Z),即
π
4
+φ=
π
2
+2kπ(k∈Z),(4分)
∵0<φ<π,∴取k=0,得φ=
π
4
(5分)
∴f(x)的解析式是f(x)=2sin(4x+
π
4
)
;(6分)
(3)由(2)得f(
1
4
α+
π
16
)=2sin[4(
1
4
α+
π
16
)+
π
4
]=
6
5

sin(α+
π
2
)=
3
5
,可得cosα=
3
5
,(7分)
α∈[-
π
2
,0]
,∴sinα=-
1-cos2α
=-
1-(
3
5
)
2
=-
4
5
,(8分)
sin2α=2sinαcosα=2×(-
4
5
3
5
=-
24
25
,(9分)
cos2α=2cos2α-1=2×(
3
5
)2-1=-
7
25
,(10分)
sin(2α-
π
4
)=sin2αcos
π
4
-cos2αsin
π
4
=-
24
25
×
2
2
+
7
25
×
2
2
=-
17
2
50
.(12分)
点评:本题给出y=Asin(ωx+φ)中的部分参数,根据函数的最大值及其相应的x值求函数的表达式,并依此求特殊的三角函数的值.着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换、诱导公式和同角三角函数基本关系等知识,属于中档题.
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(2013•肇庆一模)已知等差数列{an},满足a3+a9=8,则此数列的前11项的和S11=(  )

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(2013•肇庆一模)某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了x•46%=230人,回答问题统计结果如图表所示.
组号 分组 回答正确
的人数
回答正确的人数
占本组的概率
第1组 [15,25) 5 0.5
第2组 [25,35) a 0.9
第3组 [35,45) 27 x
第4组 [45,55) B 0.36
第5组 [55,65) 3 y
(Ⅰ)分别求出a,b,x,y的值;
(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.

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(2013•肇庆一模)(坐标系与参数方程选做题) 
已知直线l1=
x=1+3t
y=2-4t
(t为参数)与直线l2:2x-4y=5相交于点B,又点A(1,2),则|AB|=
5
2
5
2

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(2013•肇庆一模)已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,nan+1=2Sn(n∈N*)
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)求数列{an}的通项an
(3)设数列{bn}满足b1=
1
2
bn+1=
1
ak
b
2
n
+bn
,求证:当n≤k时有bn<1.

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