Question

如右图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD.且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

(1)求证：PB⊥DM；

（2）求CD与平面ADMN所成的角.

Answer 1

解法一：（1）证明：∵N是PB的中点，PA=AB，?

∴AN⊥PB.?

∵AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.?

从而PB⊥平面ADMN.?

∵DM 面ADMN,

∴PB⊥DM.?

 (2)如图,取AD的中点C,连结BG,NG,

则BG∥CD,?

∴BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等.?

∵PB⊥平面ADMN,?

∴∠BGN是BG与平面ADMN所成的角.?

在Rt△BGH中,

sin∠BGN==.?

故CD与平面ADMN所成的角是arcsin.

解法二:如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz,设BC=1，则A（0，0，0）?，P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，,1），D（0，2，0）.? 

(1）∵·=（2，0，-2）·（1，-，1）=0，?

∴PB⊥DM.?

(2)∵·=（2，0，-2）·（0，2，0）=0，?

∴PB⊥AD，又因为PB⊥DM，?

∴PB⊥平面ADMN.

∵〈，〉的余角即是CD与平面ADMN所成的角.?

∵cos〈，〉==.?

∴CD与平面ADMN所成的角为arcsin.?

点评：本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力.