Question

（2006•丰台区一模）在平面直角坐标系中，已知三个点列{A_n}，{B_n}，{C_n}，其中A_n（n，a_n），B_n（n，b_n），C_n（n-1，0），满足向量

AnAn+1

与向量

BnCn

共线，且点列{B_n}在斜率为6的直线上，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）试用a₁，b₁与n表示a_n（n≥2）；
（Ⅲ）设a₁=a，b₁=-a，在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，试求实数 a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）因为点列{B_n}在斜率为6的直线上，利用斜率公式即可得数列{b_n}的递推公式，进而由等差数列的定义证明数列{b_n}是等差数列；
（II）由已知向量

AnAn+1

与向量

BnCn

共线，知直线A_nA_n+1与直线B_nC_n的斜率相等，利用斜率公式即可得数列{b_n}与数列{a_n}的递推关系，最后利用累加法和等差数列的前n项和公式即可得；
（III）将数列{a_n}的通项公式用a表示，发现其函数模型为二次函数，在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，则确定了对称轴的范围，从而解得a的范围

解答：解：（Ⅰ）点列{B_n}在斜率为6的直线上，有 

bn+1-bn

(n+1)-n

=6⇒bn+1-bn=6
故数列{b_n}是公差为6的等差数列．                        
（Ⅱ）由向量

AnAn+1

与向量

BnCn

共线，得直线A_nA_n+1与直线B_nC_n的斜率相等
即kAnAn+1=kBnCn，
∴

an+1-an

(n+1)-n

=

bn-0

n-(n-1)

=bn
∴b_n=a_n+1-a_n=b₁+6（n-1）
∴

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+…+bn-1

=

a1+b1(n-1)+ (n-1)(n-2) 2 ×6

∴a_n=3n²+（b₁-9）n+6+a₁-b₁（n≥2）
（Ⅲ）由已知和（Ⅱ）可得  a_n=3n²-（a+9）n+6+2a（n≥2）
设二次函数f（x）=3x²-（a+9）x+6+2a，f（x）是开口方向向上的抛物线
又∵在a₆与a₇两项中至少有一项是数列{a_n}的最小项，则对称轴为x=

a+9

6

在区间[

11

2

，

15

2

]内，
即

11

2

≤

a+9

6

≤

15

2

∴24≤a≤36

点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式的应用，累加法求数列的通项公式，数列的函数性质