Question

2．已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（a，0）
（1）若A在圆C内部，求a的取值范围；
（2）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线l₁、l₂都相切，求圆M的方程；
（3）当a=-1时，若l₁、l₂被圆C所截得弦长相等，求此时直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）利用点与圆的位置关系直接写出结果即可．
（2）设出所求的圆的半径r，利用和已知圆外切及圆心M（1，m）到点A（2，0）的距离为 $\sqrt{2}$r，求出半径r和m的值，写出所求圆的标准方程．
（3）利用圆的对称性，直接求出直线的斜率，写出直线方程即可．

解答 解：（Ⅰ）圆C：（x+2）²+y²=4，圆的圆心坐标（-2，0），半径为：2．
A在圆C内部，可得a∈（-4，0）
（2）设圆M的半径为r，由于圆M的两条切线互相垂直，
故圆心M（1，m）到点A（2，0）的距离为$\sqrt{2}$r，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-2）}^{2}+{m}^{2}=2{r}^{2}\\{（1+2）}^{2}+{m}^{2}=（2+r）^{2}\end{array}\right.$，解得r=2，且m=±$\sqrt{7}$，
∴圆M的方程为（x-1）²+（y±$\sqrt{7}$）²=4．
（3）当a=-1时，设圆C的圆心为C，l₁、l₂ 被圆C所截得弦长相等，
由圆的对称性可知，直线l₁的斜率k=±1，
∴直线l₁的方程为：x-y+1=0或x+y+1=0．

点评 本题考查圆的标准方程的求法、直线和圆位置关系的综合应用，属于中档题．