Question

等差数列{a_n}的前n项和S_n
（1）求数列{

Sn

n

}是等差数列
（2）若a₁=1，且对任意正整数n，k（n＞k），都有

Sn+k

+

Sn-k

=2

Sn

成立，求数列{a_n}的通项公式．
（3）记b_n=a（a＞0），求证：

b1+b2+…+bn

n

≤

b1+bn

2

．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的前n项和公式求出S_n，再化简

Sn

n

和

Sn

n

-

Sn-1

n-1

，利用等差数列的定义即可证明；
（2）由题意令k=1代入

Sn+k

+

Sn-k

=2

Sn

，利用等差中项的性质可得数列{

Sn

}是等差数列，设其公差为t，利用等差数列的通项公式求出S_n，再由当n≥2时a_n=S_n-S_n-1、等差数列{a_n}的定义求出公差t，代入当n≥2时a_n=S_n-S_n-1化简的式子即可；
（3）把b_n=a代入不等式的左边和右边化简即可．

解答： 证明：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则S_n=na1+

n(n-1)

2

×d，
则

Sn

n

=a1+

n-1

2

×d，
所以

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=（a1+

n-1

2

×d）-（a1+

n-2

2

×d）=

d

2

，
则数列{

Sn

n

}是以

d

2

为公差的等差数列；
解：（2）因为对任意正整数n，k（n＞k），都有

Sn+k

+

Sn-k

=2

Sn

成立，
所以

Sn+1

+

Sn-1

=2

Sn

，
即数列{

Sn

}是等差数列，设其公差为t，且a₁=1，
则

Sn

=

S1

+（n-1）t=1+（n-1）t，即Sn=[1+(n-1)t]2，
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=[1+（n-1）t]²-[1+（n-2）t]²=2t²n-3t²+2t，
又在等差数列{a_n}中，a₂-a₁=a₃-a₂，
即（4t²-3t²+2t）-1=（6t²-3t²+2t）-（4t²-3t²+2t），解得t=1，
代入a_n=2t²n-3t²+2t，化简得a_n=2n-1；
证明：（3）由题意得，b_n=a（a＞0），
所以

b1+b2+…+bn

n

=

na

n

=a，

b1+bn

2

=

2a

2

=a，
则

b1+b2+…+bn

n

≤

b1+bn

2

成立．

点评：本题考查等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式，以及数列的前n项和与通项的关系式的应用，考查化简计算能力，属于中档题．