Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-3sin²x-cos²x+2．
（1）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

b

a

=

3

，

sin(2A+C)

sinA

=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）．由x∈[0，

π

2

]，可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，从而解得f（x）的值域；
（2）由题意根据三角函数中的恒等变换应用可得sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又b=

3

a，由余弦定理可解得A的值，从而求得B，C的值，即可求得f（B）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

3

sinxcosx-3sin²x-cos²x+2
=

3

sin2x-2sin²x+1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）…4分
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-1，2]…6分
（2）∵由题意可得sin[A+（A+C）]=2sinA+2sinAcos（A+C）
有，sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）
化简可得：sinC=2sinA，…9分
∴由正弦定理可得：c=2a，
∵b=

3

a，
∴由余弦定理可得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3a2+4a2-a2

4 3 a2

=

3

2

∴可解得：A=30°，B=60°，C=90°…11分
所以可得：f（B）=1…12分

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．