Question

F₁，F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₁的直线l与C的左右两支分别交于AB两点，若BF₂⊥AB，且线段AB，BF₂，AF₂长度成等差数列，则e=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：等差数列与等比数列,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用双曲线的定义和等差数列的性质，计算即可得到|BF₂|=4a，再在直角三角形BF₁F₂中，运用勾股定理，结合离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：设|BF₂|=n，
由双曲线的定义可得，|BF₁|=|BF₂|+2a=n+2a，
设|AF₂|=m，由线段AB，BF₂，AF₂长度成等差数列，
即有2|BF₂|=|AB|+|AF₂|，
即为2n=|AB|+m，
即|AB|=2n-m，
由双曲线的定义可得，|AF₁|=|AF₂|-2a=m-2a，
即有|BF₁|=|AB|+|AF₁|=2n-2a，
则2n-2a=n+2a，即为n=4a，
在直角三角形BF₁F₂中，
|F₁F₂|²=|BF₁|²+|BF₂|²，
即有4c²=（2n-2a）²+n²=（6a）²+16a²，
即有c²=13a²，
即离心率e=

c

a

=

13

．
故答案为：

13

．

点评：本题考查双曲线的定义和性质，主要考查离心率的求法，同时考查等差数列的性质，运用双曲线的定义和勾股定理是解题的关键，属于中档题．