Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，A₁D₁=2，A₁A=2

3

，点P为动点，
（1）当P为AD₁得中点时，求异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值；
（2）当PB₁与平面AA₁D₁所成角的正切值的最大值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）过点P作PE⊥A₁D₁，垂足为E，连接B₁E，则PE∥AA₁，可得∠B₁PE是异面直线AA₁与B₁P所成的角，在Rt△B₁PE中，利用余弦函数可求异面异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值．
（2）由（1）知，B₁A₁⊥平面AA₁D₁，故∠B₁PA₁是PB₁与平面AA₁D₁所成的角且tan∠B₁PA₁=

B1A1

A1P

=

2

A1P

，当A₁P最小时，tan∠B₁PA₁最大，由此可得结论．

解答： 解：（1）过点P作PE⊥A₁D₁，垂足为E，连接B₁E（如图），
则PE∥AA₁，∴∠B₁PE是异面直线AA₁与B₁P所成的角．
ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，A₁D₁=2，A₁A=2

3

，
∴A₁B₁=A₁D₁=2，A₁E=

1

2

A₁D₁=1．
又PE=

1

2

AA₁=

3

．
∴在Rt△B₁PE中，B₁P=

5+3

=2

2

，
cos∠B₁PE=

PE

B1P

=

3

2 2

=

6

4

．
∴异面异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值为

6

4

．
（2）由（1）知，B₁A₁⊥平面AA₁D₁，
∴∠B₁PA₁是PB₁与平面AA₁D₁所成的角，
且tan∠B₁PA₁=

B1A1

A1P

=

2

A1P

，
当A₁P最小时，tan∠B₁PA₁最大，
这时A₁P⊥AD₁，由A₁P=

A1D1•A1A

AD1

=

3

，
得tan∠B₁PA₁=

2 3

3

，
即PB₁与平面AA₁D₁所成角的正切值的最大值为

2 3

3

．

点评：本题考查线线角、线面角的求法，解题的关键是正确作出线线角与线面角，注意空间思维能力的培养，属于中档题．