Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且B₁A=B₁C=B₁B=AC=2．
（Ⅰ）求证：平面B₁AC⊥底面ABC；
（Ⅱ）求B₁C与平面ABB₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若E，F分别是线段A₁C₁，C₁C的中点，问在线段B₁F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB₁A₁．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AC中点O，连结B₁O，BO，则△B₁OA≌△B₁OB，从而B₁O⊥OB，进而B₁O⊥平面ABC，由此能证明平面B₁AC⊥底面ABC．
（Ⅱ）由AB=BC，O为AC中点，得BO⊥AC，以OB、OC、OB₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B₁C与平面ABB₁A₁所成角的正弦值．
（Ⅲ）求出A₁C₁中点E（-1，0，

3

），CC₁中点F（-

1

2

，1，

3

2

），设

B1P

=λ

B1F

，求出P（-

λ

2

，λ，-

3

2

λ），由

EP

•

n

=0，能求出当P是线段B₁F中点时，EP∥平面ABB₁A₁．

解答： 解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结B₁O，BO，
∵AB⊥BC，∴OB=OA=OC，
∵AB₁=B₁C，∴B₁O⊥AC，
又∵B₁B=AB₁，∴△B₁OA≌△B₁OB，
∴B₁O⊥OB，
∵AC∩OB=O，∴B₁O⊥平面ABC，
又∵B₁O?平面B₁AC，
∴平面B₁AC⊥底面ABC．
（Ⅱ）解：由已知得AB=BC，O为AC中点，
∴BO⊥AC，
以OB、OC、OB₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），B₁（0，0，

3

），C（0，1，0），A（0，-1，0），

AB

=（1，1，0），

BB1

=（-1，0，

3

），

B1C

=（0，1，-

3

），
设平面ABB₁A₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AB =x+y=0 n • BB1 =-x+ 3 z=0

，取z=1，得

n

=（

3

，-

3

，1），
设B₁C与平面ABB₁A₁所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

B1C

，

n

＞|=

| B1C • n |

| B1C |•| n |

=

21

7

．
∴B₁C与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为

21

7

．
（Ⅲ）解：

OC1

=

OC

+

CC1

=

OC

+

BB1

=（-1，1，

3

），∴C₁（-1，1，

3

），
同理得A（-1，-1，

3

），
∴A₁C₁中点E（-1，0，

3

），CC₁中点F（-

1

2

，1，

3

2

），
设

B1P

=λ

B1F

，则

B1P

=λ（-

1

2

，1，-

3

2

），
∴P（-

λ

2

，λ，-

3

2

λ），∴

EP

=（-

λ

2

+1，λ，-

3

2

λ），
∵

EP

•

n

=(-

λ

2

+1)•

3

-

3

λ-

3

2

λ=0，
∴λ=

1

2

，
∴当P是线段B₁F中点时，EP∥平面ABB₁A₁．

点评：本题考查平面B₁AC⊥底面ABC的证明，考查B₁C与平面ABB₁A₁所成角的正弦值的求出，考查在线段B₁F上是否存在点P，使得EP∥平面ABB₁A₁的判断与求法，解题时要注意空间思维能力的培养．