Question

如图1，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=2，BC=3，E，F分别是AD，BC上的两点，且AE=BF=1，G为AB中点，将四边形ABCD沿EF折起到（图2）所示的位置，使得EG⊥GC，连接AD、BC、AC得（图2）所示六面体．
（Ⅰ）求证：EG⊥平面CFG；
（Ⅱ）求直线CD与平面CFG所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得四边形ABFE为矩形，EF=AB=2，AG=BG=1，EG=GF=

2

，由勾股定理得EG⊥GF，由已知得EG⊥GC，由此能证明EG⊥平面CFG．
（Ⅱ）取CF中点H，连接EH，GH，由已知得四边形DCHE为平行四边形，HE与平面CFG所成的角即为CD与平面CFG所成的角，∠EHG为所求的角，由此能求出直线CD与平面CFG所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵E，F分别是AD，BC上的两点，且AE=BF=1，
∴四边形ABFE为矩形，∴EF=AB=2，
连结GF，GE，∵G为AB的中点，
∴AG=BG=1，解得EG=GF=

2

．
∵EF=2，∴EG²+FG²=EF²，
∴∠EGF=90°∴EG⊥GF．
又∵EG⊥GC，FG∩CG=G，GC⊆平面CFG，GF⊆平面CFG，
∴EG⊥平面CFG．

（Ⅱ）解：取CF中点H，连接EH，GH.则CH=

1

2

CF=1，
∵ED=1，∴CH=DF，∵CH∥DF，∴四边形DCHE为平行四边形，
故有CD∥HE，故HE与平面CFG所成的角即为CD与平面CFG所成的角，
∵EG⊥平面CFG，∴∠EHG为所求的角．
在Rt△EFH中，EH=

EF2+FH2

=

5

，
在Rt△EGF中，2EH2=EF2=4解得EG=

2

∴sin∠EHG=

EG

EH

=

10

5

，
∴直线CD与平面CFG所成的角的正弦值为

10

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．