某种波的传播是由曲线f来实现的.我们把函数解析式f称为“波 .把振幅都是A 的波称为“A类波 .把两个解析式相加称为波的叠加．(1)已知“1 类波中的两个波f1(x)=sin(x+φ1)与f2(x)=sin(x+φ2)叠加后仍是“1类波 .求φ2-φ1的值,(2)在“A类波“中有一个是f1(x)=sinx.从 A类波中再找出两个不同的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某种波的传播是由曲线f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．
（1）已知“1 类波”中的两个波f₁（x）=sin（x+φ₁）与f₂（x）=sin（x+φ₂）叠加后仍是“1类波”，求φ₂-φ₁的值；
（2）在“A类波“中有一个是f₁（x）=sinx，从 A类波中再找出两个不同的波（每两个波的初相φ都不同）使得这三个不同的波叠加之后是“平波”，即叠加后y=0，并说明理由．

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对函数的关系式进行恒等变换进一步求出函数中角的大小．
（2）利用（1）的结论再对函数关系式进行变换最后证明出函数时平波．

解答： 解：（1）f₁（x）+f₂（x）=sin（x+Φ₁）+sin（x+Φ₂）
=（cosΦ₁+cosΦ₂）sinx+（sinΦ₁+sinΦ₂）cosxΦ
所以函数的振幅为：

(cosΦ1+cosΦ2)2+(sinΦ1+sinΦ 2)2

2+2cos(Φ 1-Φ 2)

则：

2+2cos(Φ 1-Φ 2)

=1
即：cos(Φ 1-Φ2)=-

所以：Φ 1-Φ 2=2kπ±

2π

（k∈Z）

（2）设f₂（x）=Asin（x+Φ₁），f₃（x）=Asin（x+Φ₂）
则：
f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）
=Asinx+Asin（x+Φ₁）+Asin（x+Φ₂）
=Asinx（1+cosΦ₁+cosΦ₂）+Acosx（sinΦ₁+sinΦ₂）=0恒成立．
则：

1+cosΦ 1+cosΦ 2=0

sinΦ 1+sinΦ 2=0

即：

cosΦ 2=-cosΦ 1-1

sinΦ 1=-sinΦ 2

消去Φ₂
得到：cosΦ 1=-

若取Φ₁=

2π

，则可取Φ₂=

4π

此时：f2(x)=Asin(x+

2π

)，f3(x)=Asin(x+

4π

)
f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）
=A(sinx+(-

sinx+

cosx)+(-

sinx-

cosx))=0=0
所以为平波．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，信息题的应用，主要考查学生对实际问题的应用能力，属于中档题型．

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