Question

已知关于x的函数f（x）=lnx+a（x-1）²（a∈R）．
（1）求函数f（x）在点P（1，0）处的切线方程；
（2）若函数f（x）有极小值，试求a的取值范围；
（3）若在区间[1，+∞）上，函数f（x）不出现在直线y=x-1的上方，试求a的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程；
（2）求出导数，讨论a=0，a＜0，a＞0，令g（x）=2ax²-2ax+1，（x＞0），结合二次函数的判别式和对称轴，即可得到a的取值范围；
（3）若在区间[1，+∞）上，函数f（x）不出现在直线y=x-1的上方，即有x≥1时，f（x）≤x-1恒成立，即lnx+a（x-1）²≤x-1恒成立．令x-1=t（t≥0），即有ln（1+t）+at²-t≤0恒成立．令h（t）=ln（1+t）+at²-t，求出导数，讨论a=0，a＜0，a＞0，运用导数判断单调性，结合恒成立思想即可得到a的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=lnx+a（x-1）²的导数为f′（x）=

1

x

+2a（x-1），
函数f（x）在点P（1，0）处的切线斜率为1，
即有函数f（x）在点P（1，0）处的切线方程为y=x-1；
（2）由于f′（x）=

1

x

+2a（x-1）=

2ax2-2ax+1

x

，
当a=0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，无极值；
令g（x）=2ax²-2ax+1，（x＞0），
当a＞0时，由于对称轴x=

1

2

＞0，又函数f（x）有极小值，
即有判别式大于0，即为4a²-8a＞0，解得a＞2；
当a＜0时，判别式4a²-8a＞0恒成立，且g（x）=0有一正一负根，
且正根为极大值点，则a＜0不成立．
综上可得，a的取值范围是（2，+∞）；
（3）若在区间[1，+∞）上，函数f（x）不出现在直线y=x-1的上方，
即有x≥1时，f（x）≤x-1恒成立，即lnx+a（x-1）²≤x-1恒成立．
令x-1=t（t≥0），即有ln（1+t）+at²-t≤0恒成立．
令h（t）=ln（1+t）+at²-t，h′（t）=

1

1+t

+2at-1=

2at2+(2a-1)t

1+t

，
由于h（0）=0，h（t）≤h（0）恒成立，即有h（t）在t≥0上递减，
当a=0时，h′（t）＜0，显然成立；
当a＜0时，h′（t）＜0在t≥0恒成立；
当a＞0时，t≥0时，h′（t）≤0即为2at+2a-1≤0恒成立，
由于2at+2a-1≥2a-1，则a＞0不成立．
综上可得，a≤0，即为a的最大值为0．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间和极值及最值，主要考查运用单调性求范围，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．