Question

四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求三棱锥B-DEF的体积；
（3）二面角E-DF-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得PD⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明PA⊥CD．
（2）F到平面BDE的距离h=

1

2

PD=1，S△BDE=

1

2

×AB×AD=2，由此能求出三棱锥B-DEF的体积．
（3）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面DEF的法向量和平面BDF的法向量，利用向量法能求出二面角E-DF-B的余弦值．

解答： （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PD⊥CD，
∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，
又PA?平面PAD，∴PA⊥CD．
（2）解：∵E、F分别是AB、PB的中点，
∴F到平面BDE的距离h=

1

2

PD=1，
S△BDE=

1

2

×AB×AD=

1

2

×2×2=2，
∴三棱锥B-DEF的体积V_B-DEF=V_F-BDE=

1

3

×h×S△BDE=

2

3

．
（3）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
E（2，1，0），D（0，0，0），P（0，0，2），
B（2，2，0），F（1，1，1），

DE

=（2，1，0），

DF

=（1，1，1），

DB

=（2，2，0），
设平面DEF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DE =2x+y=0 n • DF =x+y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-2，1），
设平面BDF的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • DB =2a+2b=0 m • DF =a+b+c=0

，取a=1，得

m

=（1，-1，0），
设二面角E-DF-B的平面角为θ，
则cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

3

6 × 2

=

3

2

，
∴二面角E-DF-B的余弦值为

3

2

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，几何体的体积、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．