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    平面内有点A，B，C，D，满足A，B∈l，C∉l，且|
    CA
    |≤|
    CB
    |，
    CD
    =sin2γ
    CA
    +cos2γ
    CB
    （γ∈R）．若有等式关系：①
    CD
    •
    AB
    =2016
    AB 
    2；②
    1
    tan∠CDB
    +
    1
    tan∠B
    -
    1
    tan∠A
    =2015恒成立，则：
    （Ⅰ）△ABC的形状是
     
    ；
    （Ⅱ）tan∠ADC=
     
    ．
    考点：平面向量数量积的运算
    专题：平面向量及应用
    分析：（I）由
    CD
    =sin2γ
    CA
    +cos2γ
    CB
    （γ∈R），sin2γ+cos2γ=1．可得A，D，B三点共线，如图所示，且点D在线段AB上．作CE⊥AB，垂足为E点．
    CD
    •
    AB
    =2016
    AB 
    2，可得-|
    CD
    ||
    AB
    |cos∠CDB    =2016|
    AB
    |2    ，|
    DE
    |    =2016|
    AB
    |    ，不妨取|
    AB
    |=1．则|
    DE
    |    =2016．由|
    CA
    |≤|
    CB
    |，可得点E一定在BA的延长线上．即可得出△ABC的形状．
    （II）取点D与点A重合时，|
    AE
    |    =2016，tan∠CDB=-tan∠CAE=-
    CE
    EA
    =-
    CE
    2016
    =-tan∠A，tan∠B=
    CE
    EB
    =
    CE
    2017
    ，利用
    1
    tan∠CDB
    +
    1
    tan∠B
    -
    1
    tan∠A
    =2015恒成立，可得CE=
    2017
    2015
    ．即可得出tan∠ADC．
    解答： 解：（I）∵
    CD
    =sin2γ
    CA
    +cos2γ
    CB
    （γ∈R），sin2γ+cos2γ=1．
    ∴A，D，B三点共线，如图所示，且点D在线段AB上．作CE⊥AB，垂足为E点．
    CD
    •
    AB
    =2016
    AB 
    2，可得-|
    CD
    ||
    AB
    |cos∠CDB    =2016|
    AB
    |2    ，
    ∴|
    DE
    |    =2016|
    AB
    |    ，不妨取|
    AB
    |=1．
    则|
    DE
    |    =2016．
    ∵|
    CA
    |≤|
    CB
    |，
    ∴|
    CA
    |＜|
    CB
    |    ．
    点E一定在BA的延长线上．
    可知：△ABC是钝角三角形．
    （II）取点D与点A重合时，|
    AE
    |    =2016，
    tan∠CDB=-tan∠CAE=-
    CE
    EA
    =-
    CE
    2016
    =-tan∠A，tan∠B=
    CE
    EB
    =
    CE
    2017
    ，
    ∵
    1
    tan∠CDB
    +
    1
    tan∠B
    -
    1
    tan∠A
    =2015恒成立，
    ∴2015=
    1
    tan∠B
    =
    2017
    CE
    ，∴CE=
    2017
    2015
    ．
    ∴tan∠ADC=tan∠EAC=
    CE
    EA
    =
    2017
    2015×2016
    ．
    故答案分别为：钝角三角形；
    2017
    2015×2016
    ．
    点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算、直角三角形的边角关系、正切函数，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值（　　）
    A、
    		3
    3
    B、
    1
    4
    C、
    		3
    6
    D、
    		2
    8

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    e1
    ，
    e2
    是两个不共线的向量，向量
    PA
    =
    e1
    +sina•
    e2
    （-
    π
    2
    ＜a＜
    π
    2
    ），
    PB
    =2
    e1
    -
    e2
    ，
    PC
    =3
    e1
    -
    5
    2
    e2
    ，若A，B，C三点共线，且函数f（x-a）=4cos（x-a）cos（x-2a），则f（x）在[-
    π
    4
    ，
    π
    6
    ]上的值域为（　　）
    A、[-2，
    		3
    +2]
    B、[1-
    		3
    ，2]
    C、[-2
    		3
    ，
    		3
    +2]
    D、[
    		3
    -1，
    		3
    +2]

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，E、F分别是AB、PB的中点．
    （1）求证：PA⊥CD；
    （2）求三棱锥B-DEF的体积；
    （3）二面角E-DF-B的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知M、N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，求：
    （1）MN和CD′所成的角；
    （2）MN和AD所成的角．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足a1=-1，an+1=an+
    1
    n(n+1)
    ，n∈N*，写出前5项，并写出这个数列的一个通项公式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=-x2+ax+b，且f（4）=-3．
    （1）若函数f（x）的图象关于直线x=1对称，求函数f（x）在区间[-3，3]上的值域；
    （2）若函数f（x）在区间[2，+∞]上递减，求实数b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，
    AE
    =
    1
    4
    AC
    且
    AB
    =a，
    AD
    =b，则
    DE
    =
     
    ．（结果用a，b表示）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在棱长均相等的四面体O-ABCD中，D为AB的中点，E为CD的中点，设
    OA
    =
    a
    ，
    OB
    =
    b
    ，
    OC
    =
    c
    ，则向量
    OE
    用向量
    a
    ，
    b
    ，
    c
    表示为（　　）
    A、
    OE
    =
    1
    3
    a
    +
    1
    3
    b
    +
    1
    3
    c
    B、
    OE
    =
    1
    4
    a
    +
    1
    4
    b
    +
    1
    4
    c
    C、
    OE
    =
    1
    4
    a
    +
    1
    4
    b
    -
    1
    2
    c
    D、
    OE
    =
    1
    4
    a
    +
    1
    4
    b
    +
    1
    2
    c

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