Question

已知函数f（x）=-x²+ax+b，且f（4）=-3．
（1）若函数f（x）的图象关于直线x=1对称，求函数f（x）在区间[-3，3]上的值域；
（2）若函数f（x）在区间[2，+∞]上递减，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意求出二次函数f（x）解析式，再求出f（x）在区间[-3，3]上的值域；
（2）根据f（x）图象的对称轴，结合f（x）在区间[2，+∞）的单调性，列出不等式，求出b的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=-x²+ax+b，且函数f（x）的图象的对称轴是x=1，
∴-

a

2×(-1)

=1，解得a=2；
∴f（4）=-4²+2×4+b=-3，
解得b=5；
∴函数f（x）=-x²+2x+5=-（x-1）²+6，
∴f（1）=6，
f（-3）=-10，
f（3）=2；
∴f（x）在区间[-3，3]上的值域是[-10，6]；
（2）∵函数f（x）=-x²+ax+b，且f（4）=-4²+4a+b=-3，
∴a=

13-b

4

；
又∵f（x）的图象的对称轴为x=

a

2

=

13-b

8

，
且f（x）在区间[2，+∞）是单调减函数，
∴

13-b

8

≤2，
解得b≥-3；
∴实数b的取值范围是[-3，+∞）．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了求函数解析式的应用问题，是基础题目．