Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

，n∈N^*，写出前5项，并写出这个数列的一个通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题

分析：由递推公式依次求出数列的前5项，由归纳推理猜想出数列的一个通项公式，再由累加法、裂项相消法求出数列的通项公式．

解答： 解：因为a₁=-1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

，n∈N^*，
所以a2=a1+

1

2

=-

1

2

，a3=a2+

1

2×3

=-

1

3

，
同理可得，a₄=-

1

4

，a，5=-

1

5

，
猜想得，an=-

1

n

，
由a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

得，a_n+1-a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
所以a2-a1=1-

1

2

，a3-a2=

1

2

-

1

3

，…，an-an-1=

1

n-1

-

1

n

，
以上n-1个式子相减得，an-a1=1-

1

n

，
又a₁=-1，所以an=-

1

n

，
则这个数列的一个通项公式是an=-

1

n

．

点评：本题考查数列的递推公式，累加法、裂项相消法求出数列的通项公式，以及归纳推理的应用．