Question

已知函数f（x）=x²+mx+n满足对任意x∈R，有f（x-

a

2

）=f（-x-

a

2

）成立，并且图象经过点（0，2a-1）（其中a为常数）．
（1）试用a表示m、n；
（2）当a＜0时，g（x）=

f(lnx)

lnx+1

在[e，e²]上有最小值a-1，求实数a的值；
（3）当a=-2时，对任意的x₁∈[e，e²]，存在x₂∈[-

π

6

，

2π

3

]使得不等式f（lnx₁）-（4λ-1）（1+lnx₁）sinx₂≥0成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据你对称性得出-

m

2

=-

a

2

，即m=a，利用f（0）=n=2a-1，即可求解用a表示m、n；
（2）g（x）在[e，e²]上有最小值-3，转化为

f(lnx1)

lnx1+1

≥（4λ-1）sinx₂，利用最值，构造最小值的比较即可，即

4λ-1＞0 -3≥- 4λ-1 2

或

4λ-1＜0 -3≥4λ-1

，

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+mx+n满足对任意x∈R，有f（x-

a

2

）=f（-x-

a

2

）成立，
∴-

m

2

=-

a

2

，即m=a，
∵图象经过点（0，2a-1）（其中a为常数）．
∴f（0）=n=2a-1，
∴m=a，n=2a-1，
f（x）=x²+ax+2a-1，
（2）当a＜0时，g（x）=

f(lnx)

lnx+1

=

(lnx)2+alnx+2a-1

lnx+1

=（lnx+1）+

a

lnx+1

+a-2，
∵x在[e，e²]上，∴g（x）=（lnx+1）+

a

lnx+1

+a-2，在[e，e²]上单调递增，
∴在[e，e²]上有最小值g（e）=

3a

2

=a-1，a=-2，
g（x）在[e，e²]上有最小值-3，
∵对任意的x₁∈[e，e²]，存在x₂∈[-

π

6

，

2π

3

]使得不等式f（lnx₁）-（4λ-1）（1+lnx₁）sinx₂≥0成立，
∴不等式f（lnx₁）-（4λ-1）（1+lnx₁）sinx₂≥0，∴

f(lnx1)

lnx1+1

≥（4λ-1）sinx₂，
∵x₂∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴sinx₂∈[-

1

2

，1]，
当4λ-1＞0，-

4λ-1

2

≤（4λ-1）sinx₂≤4λ-1
当4λ-1＜0，4λ-1≤（4λ-1）sinx₂≤-

4λ-1

2

即

4λ-1＞0 -3≥- 4λ-1 2

或

4λ-1＜0 -3≥4λ-1

，
解得：λ≥1或λ≤-

1

2

点评：本题综合考虑函数的性质，有关表达式的恒成立问题，转化为最值比较的题目，难度较大，属于中档题．