【题目】已知数列满足
,且
,点
在二次函数
的图象上.
(1)试判断数列是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
(2)记,求证:数列
是等比数列,并求出通项公式
;
(3)在数列中依据某种顺序从左至右取出其中的项
,…,把这些项重新组成一个新数列
,….若数列
是首项为
、公比为
的无穷等比数列,且数列
各项的和为
,求正整数
的值.
【答案】(1)是,理由见解析;(2)证明见解析,;(3)
,
.
【解析】
(1)数列是算术平方根递推数列,根据题意,利用点
在二次函数
的图象上,可得
,即可证明
,从而数列
是算术平方根递推数列;
(2)由,
,可得
,即可证明:数列
是首项为
,公比为
的等比数列,从而求出通项公式
;
(3)由题意可得数列的首项为
,公比为
,可得
,再分类讨论,可得正整数
的值.
(1)数列是算术平方根递推数列.理由如下:
∵点在函数
的图象上,则
.
即,而
,
∴.
所以数列是算术平方根递推数列
(2)由(1)可知,,
∴,
又,
∴数列是首项为
,公比
的等比数列,
故数列通项公式
.
(3)由题意,无穷等比数列的首项
,公比
(
且
为常数),
则无穷等比数列的各项和为,化简得
.
因为且
为常数,
若,则
,与
矛盾,
所以,
若或1时,
,与
矛盾,
所以,即
,此时
,解得
,
故正整数.
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【题目】有2008名学生参加大型公益活动.若有两名学生互相认识,则将这两名学生看作一个合作小组.
(1)求合作小组数目的最小值,使得无论学生认识的情况如何,都存在三名学生,他们两两都在一个合作小组;
(2)若合作小组数目为,证明:存在四名学生
、
、
、
,使得
和
、
和
、
和
、
和
分别为一个合作小组.
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【题目】已知点O为坐标原点,椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为
,点I,J分别是椭圆C的右顶点、上顶点,△IOJ的边IJ上的中线长为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点H(-2,0)的直线交椭圆C于A,B两点,若AF1⊥BF1,求直线AB的方程.
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【题目】全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分(满分100分),得到了如下的频率分布直方图:
(1)求这4000人的“运动参与度”的平均得分(同一组中数据用该组区间中点作代表);
(2)由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分服从正态分布
,其中
,
分别取平均得分
和方差
,那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少人?
(3)如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况,现从全市随机抽取4人,记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为,求
.(精确到0.001)
附:①,
;②
,则
,
;③
.
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【题目】2018年9~12月某市邮政快递业务量完成件数较2017年9~12月同比增长25%,该市2017年9~12月邮政快递业务量柱形图及2018年9~12月邮政快递业务量结构扇形图如图所示,根据统计图,给出下列结论:
①2018年9~12月,该市邮政快递业务量完成件数约1500万件;
②2018年9~12月,该市邮政快递同城业务量完成件数与2017年9~12月相比有所减少;
③2018年9~12月,该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增长超过75%,其中正确结论的个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
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【题目】某班教室桌椅6排7列,有40名同学.空出最后一排的某两个位置,其余人按身高和视力排座位.班中有24人身高高,有18人视力好,其中,有6名同学同时具备此两个条件.已知若一名同学个子矮视力又不好,则他必须坐在前三排;若一名同学个子高视力又好,则他必须坐在最后三排.设排座位的方法是,则
的质因数分解中的2的次数是______.
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【题目】椭圆的离心率是
,过点
做斜率为
的直线
,椭圆
与直线
交于
两点,当直线
垂直于
轴时
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当变化时,在
轴上是否存在点
,使得
是以
为底的等腰三角形,若存在求出
的取值范围,若不存在说明理由.
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【题目】如果不是等差数列,但若
,使得
,那么称
为“局部等差”数列.已知数列
的项数为4,记事件
:集合
,事件
:
为“局部等差”数列,则条件概率
( )
A. B.
C.
D.
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【题目】一个多边形剪一刀(截痕不过多边形的顶点)分割为个多边形,再将其中一个多边形剪一刀(截痕不过多边形的顶点)又分割出一个多边形,……如此下去。如果从一个正方形开始,要剪出一个三角形,一个四边形,一个五边形,……一个
边形,那么,所需要剪的最少刀数为________。
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