Question

（08年咸阳市一模） （14分）如图，过点P(1,0)作曲线C: 的切线，切点为,设点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为,设在x轴上的投影是；…；依此下去,得到一系列点,,…,,…,设点的横坐标为.

（Ⅰ）试求数列｛｝的通项公式；（用的代数式表示）

（Ⅱ）求证：

（Ⅲ）求证：（注：）.

 

Answer 1

解析： (Ⅰ) ,若切点是,则

切线方程为.                                       1分

当n=1时,切线过点(1,0),即,得

当n>1时,切线过点,即,解得.

数列是首项为，公比为的等比数列，

故所求通项 .                                            4分    

(Ⅱ) 由（1）知

                                                   9分

(Ⅲ)设,则,

两式相减得，

.    故.                      14分